算法技巧：差分数组

思想

差分数组的主要适用场景是频繁对原始数组的某个区间的元素进行增减。

类似前缀和技巧构造的 prefix 数组，我们先对 nums 数组构造一个 diff 差分数组，diff[i] 就是 nums[i] 和 nums[i-1] 之差

int[] diff = new int[nums.length];
// 构造差分数组
diff[0] = nums[0];
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
    diff[i] = nums[i] - nums[i - 1];
}

通过这个 diff 差分数组是可以反推出原始数组 nums 的，代码逻辑如下：

int[] res = new int[diff.length];
// 根据差分数组构造结果数组
res[0] = diff[0];
for (int i = 1; i < diff.length; i++) {
    res[i] = res[i - 1] + diff[i];
}

这样构造差分数组 diff，就可以快速进行区间增减的操作，如果你想对区间 nums[i..j] 的元素全部加 3，那么只需要让 diff[i] += 3，然后再让 diff[j+1] -= 3 即可：

原理很简单，回想 diff 数组反推 nums 数组的过程，diff[i] += 3 意味着给 nums[i..] 所有的元素都加了 3，然后 diff[j+1] -= 3 又意味着对于 nums[j+1..] 所有元素再减 3，那综合起来，是不是就是对 nums[i..j] 中的所有元素都加 3 了？

只要花费 O(1) 的时间修改 diff 数组，就相当于给 nums 的整个区间做了修改。多次修改 diff，然后通过 diff 数组反推，即可得到 nums 修改后的结果。

现在我们把差分数组抽象成一个类，包含 increment 方法和 result 方法：

package com.algorithm202305.diff_array;

/**
 * 差分数组工具类
 */
public class Difference {
    //差分数组
    private int[] diff;

    /**
     * 输入初始化数组，对此数组进行区间操作生成差分数组
     */
    public Difference(int[] nums) {
        assert nums.length > 0;
        diff = new int[nums.length];
        //构建差分数组(相邻两个元素相减)
        diff[0] = nums[0];
        for (int i =1 ; i< nums.length;i++){
            diff[i] = nums[i] - nums[i-1];
        }
    }
    /* 给闭区间 [i, j] 增加 val（可以是负数）*/
    public void increment(int i, int j, int val) {
        diff[i] += val;
        if (j + 1 < diff.length) {
            diff[j + 1] -= val;
        }
    }
    /**
     * 通过分差数组返回结果数组
     */
    public int[] result(){
        int[] res = new int[diff.length];
        res[0] = diff[0];
        for (int j = 1 ;j < res.length;j++){
            res[j] = res[j-1] + diff[j];
        }
        return res;
    }
}

当 j+1 >= diff.length 时，说明是对 nums[i] 及以后的整个数组都进行修改，那么就不需要再给 diff 数组减 val 了。

区间加法

/**
     * 区间加法
     */
    int[] getModifiedArray(int length, int[][] updates) {
        //nums数组初始化为0
        int[] nums = new int[length];
        //构建差分解法
        Difference difference = new Difference(nums);
        for (int[] update : updates) {
            int i = update[0];
            int j = update[1];
            int val = update[2];
            difference.increment(i, j, val);
        }
        return difference.result();
    }

航班预定统计

/**
     * 航班预定统计
     */
    int[] corpFlightBookings(int[][] bookings, int n) {
        // nums 初始化为全 0
        int[] nums = new int[n];
        // 构造差分解法
        Difference df = new Difference(nums);

        for (int[] booking : bookings) {
            // 注意转成数组索引要减一哦
            int i = booking[0] - 1;
            int j = booking[1] - 1;
            int val = booking[2];
            // 对区间 nums[i..j] 增加 val
            df.increment(i, j, val);
        }
        // 返回最终的结果数组
        return df.result();
    }

拼车

你是一个开公交车的司机，公交车的最大载客量为 capacity，沿途要经过若干车站，给你一份乘客行程表 int[][] trips，其中 trips[i] = [num, start, end] 代表着有 num 个旅客要从站点 start 上车，到站点 end 下车，请你计算是否能够一次把所有旅客运送完毕（不能超过最大载客量 capacity）。

这就不能一次运完，因为 trips[1] 最多只能上 2 人，否则车就会超载。

相信你已经能够联想到差分数组技巧了：trips[i] 代表着一组区间操作，旅客的上车和下车就相当于数组的区间加减；只要结果数组中的元素都小于 capacity，就说明可以不超载运输所有旅客。

/**
     * 拼车
     */
    boolean carPooling(int[][] trips, int capacity) {
        // 最多有 1001 个车站
        int[] nums = new int[1001];
        // 构造差分解法
        Difference df = new Difference(nums);

        for (int[] trip : trips) {
            // 乘客数量
            int val = trip[0];
            // 第 trip[1] 站乘客上车
            int i = trip[1];
            // 第 trip[2] 站乘客已经下车，
            // 即乘客在车上的区间是 [trip[1], trip[2] - 1]
            int j = trip[2] - 1;
            // 进行区间操作
            df.increment(i, j, val);
        }

        int[] res = df.result();

        // 客车自始至终都不应该超载
        for (int i = 0; i < res.length; i++) {
            if (capacity < res[i]) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }