我并非所谓非常优秀，非常聪明的人，到目前为止我都是这么给自己定位的。正因为我 们不是天才，我们需要用自己堆砌的学习时间、做过的题目、大量的思考、虚心的请教与熬 过的夜，来达到强者可能轻而易举就能达到的高度。但请不要放弃。 我大一读的是英语专业，我是省内的考生，高中学的是政治、历史与技术。我高中对于 数学这门科目是敬而远之，亦或是蹒跚前行，每当遇到解析几何题目、导数题目我便觉得我 是生来不懂数学的人，我高考数学也刚刚过百。但还是，请不要放弃。我大二转到了计算机 专业，迎接我的是大量的补课，高等数学、线性代数、大学物理、C 语言、数据结构、离散 数学、Python……转来的第一个学期，我选择了补修了线代，可惜这与我原本的课程冲突了， 因此无法听老师讲课，完完全全只能靠自己。有幸的是，我遇到了对于补修同学非常关心， 讲课也非常细心的曹老师。虽然我只去了最后一堂复习课，但能感受到老师把我所学的东西 串了起来，做了非常好的总结。
自学一方面是迫于无奈，然而，对于大学生而言，自学也是非常重要的能力，甚至可以 说是大学四年一直需要培养的能力。对于线性代数，大家都说他简单，但是当我学习时候， 我却觉得它比高数还要难。以下是我学习线性代数的心得。 9 月份开学，在第二周的时候 21 级新生结束了军训，教务处也通知我们转专业的同学 去申请补修课程。想着数学是必修课，并且对于计算机专业也非常重要，我第一个学期便申 请了这门课。由于课程多，任务紧，我并没有一开始就着手学习线性代数，真正的开始，是 在十月份国庆节期间。这段时间，我只带了《线性代数》的书回家，打算期间 1.5 倍速过了 一遍 b 站上面宋浩老师的视频(总计 29 小时 41 分)，国庆七天从早上起床一直看到睡觉。期 间也会有闷，不想学的情绪，这时候我会出门散散步，或者刷刷微博调节一下。我的策略是 七天内先过一遍整本书，假期结束后开始做题熟悉考试题目，最后跟着曹老师学习通上的总 结视频进行总结。但知道假期结束我也没有完成，开学后又抽空看完了最后一章特征值与特 征向量，才开始着手做题目。一共 9 次课后练习，题目并不难，大多是很寻常的基础题目， 我每天完成白天的学习任务后会从 11 点钟熄灯开始做线性代数，每天晚上一套。刚开始时 计算初等变化、行列式、求解线性方程组会非常慢，由于计算量大，其中一步出错便会步步 错，因此我在计算完一个小阶段之后会看答案对不对，如果不对会从头检查，直到对了才继 续往下做。到了后来，我变成了每一步都计算两次，两次对照可以大幅度减少答案出错的概 率。
此外，要学会利用课本以外的资源。线性代数不比高数、概率论，它在空间几何层面有 非常良好的展现。虽然一开始它是用来求解方程的工具，但将它放在线性空间中你会有非常 惊讶的发现，甚至感叹数学简直是神造学科。在这里，就要推荐 3Blue1Brown 的视频了，这 是曹老师一开始就推荐的，也是知乎上普遍推荐的一门课。它时间不长，十几个视频一集十 几分钟，从空间的角度解释线性代数中的矩阵的概念、行列式的几何意义、特征值与特征向 量……认真看完他的视频将会从空间角度理解线性代数中的许多概念，在后来的做题中我也 会从空间角度思考这么做的意义，思考如何把全是字母的题面解释成空间意义。但是这么做 并不会提高你的计算能力，实际的计算还要动笔算，空间理解只能说是帮助你理解它的内涵， 辅助更好地理解这门学科。此外，多阅读一些其他资料也会有很大的帮助，比如一开始我并 不理解何谓特征值，何谓特征向量。在 Gilbert Strang 所著的《Introduction to Linear Algebra》 中有这么一段话：
“To explain eigenvalues, we first explain eigenvectors. Almost all vectors change direction, when they are multiplied by A. Certain exceptional vectors x are in the same direction as Ax. Those are the "eigenvectors". Multiply an eigenvector by A, and the vector Ax is a number λ times the original x. The basic equation is Ax=λx. The numberλis an eigenvalue of A.”
这段话很清楚地解释了这一概念：当对一个向量做线性变化后（在这里是左乘一个矩阵）， 这个向量通常会改变它的方向，而当它左乘一个特定的矩阵后，它并没有改变方向，而是还 在原来的位置，只不过被拉伸或收缩了λ倍，也就是说新向量 = λX。公式也解释了这个现 象： AX（向量左乘矩阵 A）， 等于λ倍的 x。当你理解了之后会觉得这很浅显，但没有人告 诉你这个现象时这会犹如天书，毕竟我们都不是数学天才。
总而言之，学好线性代数并不是很困难，困难的是在这条路上能坚持走下去，自己的热 情不被消磨。 如果你是计算机专业或数学相关专业，想学习计算机视觉、游戏制作、机器学习等方向， 线性代数会非常重要，学好它是你的职责。比如你在概率论的最后一章会学到一元线性回归， 你会学习用直线去拟合数据。可惜我们学校不会考察你回归方程参数的计算，也不考你代码 实现，甚至不会考你多变量的回归（实际问题几乎都是多元的），此时解决多变量回归问题 的正规方程做法便是计算样本值组成的矩阵方程，其中会涉及矩阵的逆、转置、求导等等， 我也还在学习的路途当中。你会理解在实践运用中，若你的矩阵出现了先线性相关的向量， 那么这个向量对于你的模型建立没有任何帮助，此时需要对你的数据进行处理。学习线性代 数，并且运用它，是让你的知识永葆新鲜的一个重要途径，才不会让你的知识考完试便还给老师。
若你今后不从事相关职业或对于线性代数丝毫提不起兴趣，那也没关系，毕竟不是所有 人都要掌握这门课。你只需要跟着老师好好听课，好好做作业，通过线性代数锻炼自己的数 理思维，这些隐性的思维会在你需要的时候默默帮助你。如果你追求绩点就好好学考一个高 分（通常来说平时认真学了期末是完全不用担心的）。如果你不追求绩点，那么你可以去做 自己喜欢的事，把时间放在你认为重要的专业课上面，不要让你的线性代数拖你的后腿，期 末不要挂科。正常来讲，线性代数你只要掌握它的基本计算，计算不出错，期末都能拿到一 个很可观的成绩。
最后，一定要看曹老师的总结视频或者认真听复习课程。网络上有很多优质的资源，但 是能像曹老师一样面面俱到，把整本书知识串联起来讲得非常清楚的课却不多。计算细心， 态度端正，目标明确，我相信每个人都能学好这门课，哪怕你是个恐惧数学的学生。
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二〇二二年一月二十二日晚
时XX依畔细雨潺潺