动态规划——最长公共子序列（算法设计课题）

问题描述：

若给定序列X={x1,x2,…,xm}，则另一序列Z={z1,z2,…,zk}，是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有j=1,2,…,k有：zj=xij。例如，序列Z={B，C，D，B}

是序列X={A，B，C，B，D，A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。

给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。

给定2个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出X和Y的最长公共子序列。

解题思路：

设序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}的最长公共子序列为Z={z1,z2,…,zk} ，则
(1)若xm=yn，则zk=xm=yn，且zk-1是xm-1和yn-1的最长公共子序列。
(2)若xm≠yn且zk≠xm，则Z是xm-1和Y的最长公共子序列。
(3)若xm≠yn且zk≠yn，则Z是X和yn-1的最长公共子序列。

由于在所考虑的子问题空间中，总共有θ(mn)个不同的子问题，因此，用动态规划算法自底向上地计算最优值能提高算法的效率。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAXLEN 100
void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[][MAXLEN], int b[][MAXLEN])
{
    int i, j;  
    for(i = 0; i <= m; i++)
        c[i][0] = 0;
    for(j = 1; j <= n; j++)
        c[0][j] = 0;
    for(i = 1; i<= m; i++)
    {
        for(j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(x[i-1] == y[j-1])
            {
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                b[i][j] = 1;
            }
            else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1])
            {
                c[i][j] = c[i-1][j];
                b[i][j] = 2;
            }
            else
            {
                c[i][j] = c[i][j-1];
                b[i][j] = 3;
            }
        }
    }
}
void PrintLCS(int b[][MAXLEN],char *x,int i,int j)
{
    if(i==0||j==0)
    return;
    if(b[i][j]==1)
    {
        PrintLCS(b,x,i-1,j-1);
        printf("%c",x[i-1]);        
    }
    else if(b[i][j]==2)
        PrintLCS(b,x,i-1,j);
    else
        PrintLCS(b,x,i,j-1);
}

int main(int argc, char **argv)
{
    char x[MAXLEN];
    char y[MAXLEN];
    int b[MAXLEN][MAXLEN];
    int c[MAXLEN][MAXLEN];
    int m,n;
    
    while(-1)
    {
    gets(x);
    gets(y);
    m=strlen(x);
    n=strlen(y);  
    LCSLength(x,y,m,n,c,b);
    PrintLCS(b,x,m,n); 
    printf("\n");
}
    return 0;
}