不定积分模拟计算机
用乘法器，除法器，加法器，减法器可以按照公式进行组合连接，进而计算出积分。
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访问码：tc66
推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译
例1.
√x
e
dx
√x
2
设x=t ,则有
√x t
e e t t √x
dx= 2tdt=2 e dt=2e +C=2e +C
√x t
例4.
dx dx d(x+3)
dx= = =arctg9x+3)+C
2 2 2
1
2
3
x +6x+10 (x+3) +1 (x+3) +1
例1.
3 2 3 2
(4x -2x -5x-3)dx=4 x dx- 2x dx+ 5xdx- 3dx
4 3 2
x x x
=4 -2 +5 -3x+C
4 3 2
2
2 3 x
1
2
=x- x +5 -3x+C
3 2
例13.
3 2 2
1
tg xdx= tg xtgxdx= (sec x-1)tgxdx=
2
1
= tgxsec xdx- tgxdx= tgx dtgx- tgx dx use利用公式6.12
2
1
tg x
= +lncosx+C 利用公式6.4及本节例9)
x
例9.
sinx d(cosx)
1
tg xdx= dx= =-ln cosx +C
cosx cosx
指数函数的积分
x
d(a ) x
=a lna
dx
x
1 d(a ) x
=a
1
2
3
lna dx
x
a
1
2
d( ) x
lna =a
dx
x
X a
1
2
a dx= +C
lna
特别的，上式中当a=c时，得
x x
1
e dx=e +C
积分表
kdx=kx+C
μ 1 μ-1
1
x dx= x +C (μ≠-1)
μ+1
dx/x=ln│x│+C
x x
a dx=a /lna+C
1
2
当a=e时，
x x
e dx=e +C
cosxdx=sinx +C
sinxdx=-cosx +C
2
sec xdx=tgx +C
2
csc xdx=-ctgx +C
secxtgxdx=secx +C
cscxctgxdx=-cscx +C
dx
=arcsinx+C=-arccosx +C
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
1-x
dx
=arctgx+C=-arcctgx +C
2
1
2
3
1-x
shxdx=chx +C
chxdx=shx +C
m m+1
x dx=x /(m+1)+C
dx/x= d(-x)/(-x)=log│x│+c
x x
a dx=a /log a +c
cosxdx=sinx +C
sinxdx=-cosx +C
2
dx/cos x=tan x +c
2 ±arc sinx+c
dx/ 1-x ={
±arc cosx+c
2
dx/ (x +1) =arc tanx+c
chxdx=shx+c
shxdx=chx+c
2
dx/ch x=thx+c
2
dx/ x -1 =±argchx+c
2
dx/(1-x )=±argthx+c
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
推导参见《理化用高等算学》,J.W.Mellor著，徐朔均译，商务印书馆1912年出版
y=sinhx dy/dx=coshx coshxdx=sinhx
y=coshx dy/dx=sinhx sinhxdx=coshx
2
1
y=tanhx dy/dx=sech x sechxdx=tanx
2 2
1
y=cothx dy/dx=-cosech x cosech xdx=-cothx
2 2
1
y=sechx dy/dx=-sinhx/cosh x (sinhx/cosh x)dx=-sechx
2 2
1
y=cosechx dy/dx=-coshx/sinh x (coshd/sinh x)dx=-cosechx
2 2
1
y=arcsinh x dy/dx=1/ x +1 dx/ x +1 =arcsinh x
2 2
1
y=arccosh x dy/dx=1/ x -1 dx/ x -1 =arccosh x
2 2
1
y=arctanh x dy/dx=1/(1-x ), x<1 dx/(1-x ) =arctanh x
2 2
1
y=arccoth x dy/dx=1/(x -1), x<1 dx/(x -1) =arccoth x
2 2
1
y=arcsech x dy/dx=1/(x 1-x ) dx/(x 1-x ) =-arcsech x
2 2
1
y=arc cosech x dy/dx=1/(x x +1) dx/(x x +1 ) =-arc cosech x
u n-1 n n+1
1
u=x du/dx=nx x dx=x /(n+1)
x x n x x
1
u=a du/dx=a log a a dx=a /log a
e e
x x n x x
1
u=e du/dx=e e dx=e
n
1
u=log x du/dx=1/x dx/x=log x
e e
u=sinx du/dx=cosx cosaxdx=sinax/a
u=cosx du/dx=-sinx sinaxdx=-cosax/a
2 2
1
u=tanx du/dx=sec x sec axdx=-tanax/a
2 2
1
u=cotx du/dx=-cosec x cosec axdx=-cotax/a
2 2
1
u=secx du/dx=sinx/cos x (sinx/csc x)dx=secx
2 2
1
u=cosecx du/dx=cosx/sin x (cosx/sin x)dx=-cosecx
2
1
y=arcsin x dy/dx=1/ 1-x
2 =arc sin (x/a)
} dx/ a -x={
2 =-arccos (x/a)
1
2
3
4
y=arccos x dy/dx=-1/ 1-x
2
1
u=arctan x dy/dx=1/ (1+x )
2 =[arc tan (x/a)]/a
} dx/ a +x={
2 =-[arc cot (x/a)]/a
1
2
3
4
y=arccos x dy/dx=-1/(1+x )
2
1
u=arc sec x du/dx=1/x x -1
2 =[arcsec (x/a)]/a
} dx/(x x -a={
2 =-[arc cosec (x/a)]/a
1
u=arc cosec x du/dx=-1/x x -1
u=arc vers x du/dx=1/ 2x-x
2 =arc vers x
} dx/ 2x-x ={
2 =-arc covers x
1
2
3
4
u=arc covers x du/dx=-1/ 2x-x
2 2 -1 2 2 -1
dx/ x +a =sinh (x/a) dx/ a -x =sin (x/a)
2 2 -1 2 2 -1
dx/ x -a =cosh (x/a) -dx/ a -x =cos (x/a)
2 2 -1 2 2 -1
dx/(a -x )=[tanh (x/a)]/a 设x<a, dx/(a +x )=[tan (x/a)]/a
2 2 -1 2 2 -1
-dx/(a -x )=[coth (x/a)]/a 设x>a, -dx/(a +x )=[cot (x/a)]/a
2 2 -1 2 2 -1
-dx/ a -x =[sech (x/a)]/a dx/ x -a =[sec (x/a)]/a
2 2 -1 2 2 -1
-dx/ a +x =[cosech (x/a)]/a dx/ x -a =[cosec (x/a)]/a
2
sechxdx=gdx secxdx=gd x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
推导过程参见《微积分》，上海科学技术出版社1978年出版
n 1 n-1
1
x dx= x +C (n≠-1)
n+1
dx/x=ln│x│+C
dx/(a+bx)=ln│a+bx│/b+C
ax 1 ax
1
2
3
e dx= e +C
a
x
x a
1
2
a dx= +C
lna
x
1
log xdx=xlog x- +C
a a lna
当a=e时，
lnxdx=xlnx-x+C
dx 1 x-a
1
= ln +C
2 2 2a x+a
x -a
dx 1 a+x
1
= ln +C
2 2 2a a-x
a -x
dx 1 x+a
1
= ln +C
(x+a)(x+b) b-a x+b
dx 1 x
1
= arctg +C
2 2 a a
x +a
dx x
1
= arcsin +C
2 2 a
a -x
dx 2 2
1
=ln│x+ x ±a │+C
2 2
x ±a
2
2 2 x 2 2 a x
1
2
a -x dx= a -x + arcsin +C
2 2 a
2
2 2 x 2 2 a 2 2
x ±a dx= x ±a ± ln│x+ x ±a │+C
2 2
sinaxdx=（-cosx)/a +C
cosaxdx=(sinx)/a +C
tgxdx=-ln│cosx│ +C
ctgxdx=ln│sinx│ +C
secxdx= dx/cosx=ln│tg(π/4+x/2)│+C=ln│secx+tgx│+C
cscxdx= dx/sinx=ln│tg(x/2)│+C =ln│cscx-ctgx│+C
2
sin xdx=x/2-(sin2x)/4+C
2
cos xdx=x/2+(sin2x)/4+C
2
dx/cos x=tgx+C
2
dx/sin x=-ctgx+C
n-1
n sin xcosx n-1 n-2
sin xdx=- + sin xdx
n n
n-1
n cos xsinx n-1 n-2
cos xdx=- + cos xdx
n n
sin(m+n)x sin(m-n)x
sin mx*sin nxdx=- + +C
2(m+n) 2(m-n)
sin(m+n)x sin(m-n)x
cos mx*cos nxdx= + +C
2(m+n) 2(m-n)
cos(m+n)x cos(m-n)x
sin mx*cos nxdx=- - +C
2(m+n) 2(m-n)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
以上三式中m-n≠0，即m≠n
2 2
arcsin(x/a)dx=xarcsin(x/a)+ a -x +C
2 2
arccos(x/a)dx=xarccos(x/a)- a -x +C
2 2
arctg(x/a)dx=xarctg(x/a)-[a*ln(a +x )]/2+C
ax
ax e (asin nx-ncos nx)
e sin nx dx= - +C
2 2
a +n
ax
ax e (asin nx+ncos nx)
e cos nx dx= - +C
2 2
a +n
ax
ax e
xe dx= (ax-1)+C (a≠0)
2
a
n ax
ax x e a n-1 ax
x e dx= - x e dx
a a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
上表中a,b,m,n都是给定的常数
推导过程参见《高等混合算学下册》，商务印书馆1925年出版，梧兹（Woods），巴雷（Bailey）著，长沙易俊元译
n 1 n+1
1
u dx= u +C (n≠-1)
n+1
du/u=logu
cosxdx=sinx
sinxdx=-cosx
2
sec xdx=tgx
2
csc xdx=-ctgx
secxtgxdx=secx
cscxctgxdx=-cscx
tanudu=logsec u
cotudu=logsin u
secudu=log(secu+tanu)=logtan(π/4+u/2)
cscudu=log(cscu-cotu)=logtan(π/2)
du
=arcsin (u/a)或-arccos (u/a)
2 2
a -u
du
=[arctan (u/a)]/a或-[arccos(u/a)]/a
2 2
a +u
du
=[arcsec (u/a)]/a或-[arccsc (u/a)]/a
2 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
u u -a
du 2 2
=log(u+ u +a )或arcsinh(u/a)
2 2
u +a
du 2 2
=log(u+ u -a )或arccosh(u/a)
2 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
u -a
du 1 1 -1
= log[(u-a)/(u+a)]或 log[(a-u)/(a+u)]或 arc tanh (u/a)
2 2 2a 2a a
u -a
u u
e du=e
u u
a du=a /loga+C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译
以下的公式是置换积分的第二个重要方法。
分部积分公式
设u及v是以x为自变量的二个函数：
u=φ(x),v=f(x), 那么公式成立
udv=uv- vdu 6.17
1
事实上，按公式（4）4-13有d(uv)=udv+vdu,从而得
udv=d(uv)-vdu
对此等式两边取积分后，就得到我们的公式，应用这个公式的方法，
首先注意被积表达式中的dx都含于dv内，我们要取dv使其所含的因式易于积分，且须将被积表达式中其余的因式作为u而使其微分后的du不复杂就行了。
例20.求
x*sinxdx
1
设dv=sinxdx,u=x, 则, v=-cosx,du=dx, 及
x*sinxdx=-xcosx+ cosxdx=-xcosx+sinx+C
1
例21.求
arctgxdx
1
设dv=dx,u=arctgx, 于是
1
v=x,du= dx
2
1+x
及
xdx
arctgxdx=xarctgx-
2
1+x
2
1 d(1+x )
=xarctgx-
2 2
1+x
1 2
=xarctgx- ln(1+x )+C
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
例22.求
lnxdx
1
设dv=dx,u=lnx, 那么, v=x,du=dx/x, 及
lnxdx=xlnx- dx=xlnx-x+C
1
例23.求
2 ax
x e dx
ax 2
1
设dv=e dx,u=x , 则
ax ax
v= e dx=e /a,du=2xdx
故,
ax ax
2 ax 2 e e
x e dx=x * - 2xdx
a a
2 ax ax ax
x e 2 e e
1
2
= - [x* - dx]
a a a a
2 ax
x e 2x ax 2 ax
1
2
= - e + e +C
a 2 3
a a
ax
e 2 2x 2
1
2
= (x - + )+C
a a 2
a
例24.求
lnx
dx
2
(x+1)
令
dx
dv= , u=lnx, 则,
2
(x+1)
1 dx
1
v=- , du=
x+1 x
故
dx
lnxdx 1 x
=- lnx+
2 x+1 x+1
(x+1)
1 A B
1
= lnx+ ( + )dx
x+1 x x+1
而(x+1)A+Bx=1,
∴A=1,B=-1
∴
dx dx
- ( =lnx-ln(x+1)+C
x x+1
因而,
lnxdx 1
=- lnx+lnx-ln(x+1)+C
2 x+1
(x+1)
x
= lnx-ln(x+1)+C
x+1
1
2
3
例25.求
3
sec xdx
因为,
3 2
sec xdx= secx*sec xdx
（u） (dv)
=secx*tgx- tgx*secstgxdx
2
=secx*tgx- secx(sec x-1)dx
2
=secx*tgx- sec xdx+ secxdx
1
2
3
4
5
6
7
所以移项得
2
2 sec xdx=secxtgx+ secxdx
secx(secx+tgx)dx
1
=secx*tgx+
secx+tgx
d(secx+tgx)
1
=secx*tgx+
secx+tgx
=secx*tgx+ln(secx+tgx)+C
最后得last
3 1 1
sec xdx= secxtgx+ ln(secx+tgx)+C
2 2
例26.求
2
e sinnxdx
令
ax
dv=sinnxdx,u=e
则
1 ax
v= cosnx,du=ae dx
n
代入得,
ax 1 ax a ax
e sinnxdx= e cosnx+ e cosnxdx
n n
求末项的积分得
ax
dv=cosnxdx,u=e
则
1 ax
v= sinnx及 du=ae dx
n
代入得,
ax 1 ax a ax
e cosnxdx= e sinnx+ e sinnxdx
n n
因此得
ax 2
ax e a ax
e sinnxdx= (asinnx-ncosnx)- e sinnxdx
2 2
n n
移项，再以左边合并后的系数除两边则得
ax
ax e (asinnx-ncosnx)
e sinnxdx= +C
2 2
a +n
当分母不为0时，极限的求法
推导过程可参见1946年版《大学教本微积分学》，周梦鏖译，龙门联合书局出版
2
x -4
lim =4
x→2 x-2
lim (x+2)=4
x→2
1
2
当分母为0时，极限的求法，如下所示
例2: 证明
2
2x -2
lim =4
x→1 x-1
这不算证明，现在用定义证明，这里
2
2x -2
f(x)= =4 , A=4,x =1,
x-1 0
因为,
2 2
2x -2 2(x -2x+1)
│f(x)-A│= -4 = =2│x-1│,(x≠1)
x-1 x-1
1
2
3
4
所以对于任意给定的ε>0，要使│f(x)-A│<ε，就应取│x-x │=│x-1│<ε/2,
0
因此应取δ=ε/2,当：0<│x-x │=│x-1│<δ=ε/2, 时，就恒有
0
│f(x)-A│=2│x-1│<2*ε/2=ε, 由此可知
2
2x -2
lim =4
x→1 x-1
1
2
3
4
综上所述：当x-1<δ时，f(x)-4<ε, 所以f(x)在x→1的时，极限是4
第三部分 不定积分计算电路
计算sinx导数的电路
因为because
△y sin(x +△x)-sinx
(sinx)`= lim = lim =cosx=t
△x→0 △x △x→0 △x
用直流电源电压表示x,t,s的数值，用乘法器，除法器，减法器，表示上面等式，用电压表测量等式两端电压相等时，s的输出是正整数时，这时t的输出电压值就是极限值4.
sin(x+△x)-sinx -t*△x
1
设g(x)= =s*△x
△x
下面的电路实现的上面公式的功能,用加法器，乘法器，加法器除法器按上面的公式进行计算。等号表示两端电压相等。
调节s,t,x,△x的电压输出，使乘法器A，除法器A输出的电压相等，调节电位器使x,△x,s,t输出的电压值不断变化，用电压表测量s是正整数时，t的输出值就是函数sinx在△x→0时的极限。
计算sinx的导数的过程和求下面极限的过程相似
2
2x -2-t(x-1)
=s(x-1)
x-1
2
2x -2
1
2
lim =4
x→1 x-1
因为,
2
2x -2 2(x -2x+1)
│f(x)-A│= -4 = =2│x-1│,(x≠1)
x-1 x-1
计算cosx不定积分的电路
sin(x+△x)-sinx=△x*(s△x+t),
设sinw=sin(x+△x)-sinx,
sinw=△x(s*△x+t),
其中t=cosx, sinw=△x*(s*△x+cosx),
sin(x+△x)-sinx -t*△x
=s*△x
△x
1
2
3
下面的电路实现的上面公式的功能,用加法器，乘法器，加法器除法器按上面的公式进行计算。等号表示两端电压相等。
调节s,t,x,△x的电压输出，使乘法器A，除法器A输出的电压相等，调节电位器使x,△x,s,t输出的电压值不断变化，用电压表测量s是正整数时，t的输出值就是函数sinx在△x→0时的极限。
2.计算lnx导数的电路
下面的电路实现的上面公式的功能,用加法器，乘法器，加法器除法器按上面的公式进行计算。等号表示两端电压相等。
调节s,t,x,△x的电压输出，使乘法器A，除法器A输出的电压相等，调节电位器使x,△x,s,t输出的电压值不断变化，用电压表测量s是正整数时，t的输出值就是函数sinx在△x→0时的极限。
△y ln(x+△x)-lnx
(lnx)`= lim = lim =1/x=t
△x→0 △x △x→0 △x
ln(x+△x)-lnx-t*△x
1
设g(x)= =s*△x
△x
计算sinx的导数的过程和求下面极限的过程相似
2
2x -2-t(x-1)
=s*△x
△x
2
2x -2
1
2
lim =4
△x→0 x-1
因为,
2 2
2x -2 2(x -2x+1)
│f(x)-A│= -4 = =2│x-1│,(x≠1)
x-1 x-1
4.计算1/x不定积分的电路
下面的电路实现的上面公式的功能,用加法器，乘法器，加法器除法器按上面的公式进行计算。等号表示两端电压相等。
调节s,t,x,△x的电压输出，使乘法器A，除法器A输出的电压相等，调节电位器使x,△x,s,t输出的电压值不断变化，用电压表测量s是正整数时，t的输出值就是函数sinx在△x→0时的极限。
ln(x+△x)-lnx=△x*(s△x+t)
设
lnw=ln(x+△x)-lnx，lnw=△x(s△x+t)，
其中t=1/x，lnw=△x(s△x+1/x)
ln(x+△x)-lnx-t△x
=s*△x
△x
2
1
计算2t -3t+5导数的电路
下面的电路实现的上面公式的功能,用加法器，乘法器，加法器除法器按上面的公式进行计算。等号表示两端电压相等。
调节s,t,x,△x的电压输出，使乘法器A，除法器A输出的电压相等，调节电位器使x,△x,s,t输出的电压值不断变化，用电压表测量s是正整数时，t的输出值就是函数sinx在△x→0时的极限。
2
v=S=(2t -3t+5)=4t-3
2 2
2(t+△t) -3(t+△t)+5-(2t -3t+5)-m△t
=n△t
△t
计算4t-3积分的电路
下面的电路实现的上面公式的功能,用加法器，乘法器，加法器除法器按上面的公式进行计算。等号表示两端电压相等。
调节s,t,x,△x的电压输出，使乘法器A，除法器A输出的电压相等，调节电位器使x,△x,s,t输出的电压值不断变化，用电压表测量s是正整数时，t的输出值就是函数sinx在△x→0时的极限。
2
v=S=(2t -3t+5)=4t-3
2 2
1
2(t+△t) -3(t+△t)+5-(2t -3t+5)-m△t=△t（n*△t+m)
2
1
设f(t)=2t -3t+5
2 2
1
f(w)=2(t+△t) -3(t+△t)+5-(2t -3t+5)
f(w)=△t*（n△t+m)，
其中m=4t-3，
f(w)=△t（n*△t+4t-3)，
第四部分 积分计算电路
1.下面电路实现计算下面的积分的功能
dx dx d(x+3)
= = =arctg(x+3)+C
2 2 2
x +6x+10 (x+3) +1 (x+3) +1
1
2
3
4
电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。
前面的电路是计算得到原函数的电路。
做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，
再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。
电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值
后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路
计算arctg(x+3)导数的电路
dx dx d(x+3)
= = =arctg(x+3)+C
2 2 2
1
2
x +6x+10 (x+3) +1 (x+3) +1
下面的电路实现的上面公式的功能,用加法器，乘法器，加法器除法器按上面的公式进行计算。等号表示两端电压相等。
调节s,t,x,△x的电压输出，使乘法器A，除法器A输出的电压相等，调节电位器使x,△x,s,t输出的电压值不断变化，用电压表测量s是正整数时，t的输出值就是函数sinx在△x→0时的极限。
△y arctg(x+△x+3)-arctg(x+3) 1
[arctg(x+3)]`= lim = lim = =t
△x→0 △x △x→0 △x 2
x +6x+10
arctg(x+△x+3)-arctg(x+3)-t△x
设g(x)= =s△x
△x
计算不定积分的电路
dx dx d(x+3)
= = =arctg(x+3)+C
2 2 2
1
2
x +6x+10 (x+3) +1 (x+3) +1
△y arctg(x+△x+3)-arctg(x+3) 1
1
[arctg(x+3)]`= lim = lim = =t
△x→0 △x △x→0 △x 2
x +6x+10
arctg(x+△x+3)-arctg(x+3)-t△x
=s△x
△x
arctg(x+△x+3)-arctg(x+3)=△x*(s△x+t),
下面的电路实现的上面公式的功能,
arctg(x+△x+3)-arctg(x+3)=△x(s△x+t),
设arctgw=arctg(x+△x+3)-arctg(x+3)，arctgw=△x(s*△x+t)
1
1
其中t=
2
x +6x+10
1
1
arctgw=△x*(s*△x+ 0
2
x +6x+10
22.下面电路实现计算下面的积分的功能
ax
ax e
xe dx= (ax-1)+C (a≠0)
2
a
电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。
前面的电路是计算得到原函数的电路。
做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，
再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。
电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值
后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路
ax
e
1
2
计算 (ax-1) 导数的电路
2
a
ax
ax e
xe dx= (ax-1)+C (a≠0)
2
a
a(x+△x) ax
e e
[a(x+△x)-1]- (ax-1)
ax 2 2
e △y a a ax
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
[ (ax-1)]= lim = lim =xe dx=t
2 △x→0 △x △x→0 △x
a
设g(x)=
a(x+△x) ax
e e
[a(x+△x)-1]- (ax-1) -t*△x
2 2
a a
=s*△x
△x
1
2
3
4
5
6
7
下面的电路实现的上面公式的功能,用加法器，乘法器，加法器除法器按上面的公式进行计算。等号表示两端电压相等。
调节s,t,x,△x的电压输出，使乘法器A，除法器A输出的电压相等，调节电位器使x,△x,s,t输出的电压值不断变化，用电压表测量s是正整数时，t的输出值就是函数sinx在△x→0时的极限。
ax
e
1
2
计算 不定积分的电路
2
a
ax
ax e
xe dx= (ax-1)+C (a≠0)
2
a
下面的电路实现的上面公式的功能
a(x+△x) ax
e e
[a(x+△x)-1]- (ax-1) =△x*(s*△x+t)
2 2
a a
1
2
3
4
5
设
a(x+△x) ax
aw e e
we = [a(x+△x)-1]- (ax-1)
2 2
a a
aw
we =△x*(s*△x+t)
aw
e
1
2
其中t=
2
a
aw
e
1
2
we =△x*(s*△x+ )
2
a
第五部分 积分计算电路
推导过程参见《微积分》，上海科学技术出版社1978年出版
1.下面电路实现计算下面的积分的功能
kdx=kx+C
用乘法器将k和x相乘即可
2.下面电路实现计算下面的积分的功能
n 1 n-1
1
x dx= x +C (n≠-1)
n+1
根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。
电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。
前面的电路是计算得到原函数的电路。
做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，
再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。
电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值
后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路
3.下面电路实现计算下面的积分的功能
根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。
电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。
前面的电路是计算得到原函数的电路。
做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，
再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。
电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值
后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路
dx/x=ln│x│+C
4.下面电路实现计算下面的积分的功能
x
x a
a dx= +C
lna
当a=e时
x 1 x
e dx= e +C
a
根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。
电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。
前面的电路是计算得到原函数的电路。
做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，
再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。
电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值
后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路
5.下面电路实现计算下面的积分的功能
cosxdx=(sinx) +C
1
根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。
电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。
前面的电路是计算得到原函数的电路。
做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，
再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。
电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值
后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路
6.下面电路实现计算下面的积分的功能
sinxdx=-cosx+C
1
根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。
电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。
前面的电路是计算得到原函数的电路。
做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，
再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。
电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值
后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路
7.下面电路实现计算下面的积分的功能
2
sec xdx=tgx +C
根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。
电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。
前面的电路是计算得到原函数的电路。
做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，
再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。
电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值
后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路
8.下面电路实现计算下面的积分的功能
2
1
csc xdx=-ctgx +C
根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。
电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。
前面的电路是计算得到原函数的电路。
做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，
再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。
电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值
后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路
9.下面电路实现计算下面的积分的功能
1
secxtgxdx=secx +C
根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。
电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。
前面的电路是计算得到原函数的电路。
做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，
再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。
电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值
后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路
10.下面电路实现计算下面的积分的功能
cscxctgxdx=-cscx +C
根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。
电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。
前面的电路是计算得到原函数的电路。
做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，
再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。
电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值
后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路
11.下面电路实现计算下面的积分的功能
dx
1
=arcsinx+C=-arccosx +C
2
1 -x
根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。
电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。
前面的电路是计算得到原函数的电路。
做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，
再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。
电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值
后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路
12.下面电路实现计算下面的积分的功能
根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。
电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。
前面的电路是计算得到原函数的电路。
做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，
再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。
电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值
后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路
dx
==arctgx+C=-arcctgx +C
2
1 -a
13.下面电路实现计算下面的积分的功能
shxdx=chx +C
根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。
电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。
前面的电路是计算得到原函数的电路。
做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，
再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。
电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值
后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路
14.下面电路实现计算下面的积分的功能
chxdx=shx +C
根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。
电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。
前面的电路是计算得到原函数的电路。
做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，
再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。
电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值
后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路
15.下面电路实现计算下面的积分的功能
dx/(a+bx)=ln│a+bx│/b+C
1
根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。
电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。
前面的电路是计算得到原函数的电路。
做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，
再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。
电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值
后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路
16.下面电路实现计算下面的积分的功能
x
log xdx=xlog x- +C
a a lna
当a=e时，
lnxdx=xlnx-x+C
根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。
电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。
前面的电路是计算得到原函数的电路。
做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，
再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。
电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值
后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路
17.下面电路实现计算下面的积分的功能
dx 1 x-a
1
= ln +C
2 2 2a x+a
x -a
根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。
电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。
前面的电路是计算得到原函数的电路。
做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，
再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。
电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值
后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路
18.下面电路实现计算下面的积分的功能
secxdx= dx/cosx=ln│tg(π/4+x/2)│+C=ln│secx+tgx│+C
1
根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。
电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。
前面的电路是计算得到原函数的电路。
做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，
再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。
电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值
后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路
19.下面电路实现计算下面的积分的功能
2
2 2 x 2 2 a x
1
2
a -x dx= a -x + arcsin +C
2 2 a
根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。
电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。
前面的电路是计算得到原函数的电路。
做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，
再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。
电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值
后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路
20.下面电路实现计算下面的积分的功能
cos(m+n)x cos(m-n)x
sin mx*cos nxdx=- - +C
2(m+n) 2(m-n)
1
2
3
根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。
电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。
前面的电路是计算得到原函数的电路。
做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，
再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。
电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值
后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路
21.下面电路实现计算下面的积分的功能
2 2
arccos(x/a)dx=xarccos(x/a)- a -x +C
1
2
根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。
电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。
前面的电路是计算得到原函数的电路。
做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，
再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。
电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值
后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路
22.下面电路实现计算下面的积分的功能
ax
ax e
1
2
xe dx= (ax-1)+C (a≠0)
2
a
根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。
电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。
前面的电路是计算得到原函数的电路。
做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，
再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。
电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值
后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路
第六部分
计算f(x)导数的电路
推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译
ax
ax e (asinnx-ncosnx)
e sinnxdx= +C
2 2
a +n
ax
e (asinnx-ncosnx) △y f(x+△x)-f(x)
f(x)=( )`= lim = lim =t
2 2 △x→0 △x △x→0 △x
a +n
f(x+△x)-f(x)-t*△x
1
设g(x)= =s*△x
△x
用直流电源电压表示x,t,s的数值，用乘法器，除法器，减法器，表示上面等式，用电压表测量等式两端电压相等时，s的输出是正整数时，这时t的输出电压值就是极限值4…
计算不定积分的电路
ax
e (asinnx-ncosnx) △y f(x+△x)-f(x)
f(x)=( )`= lim = lim =t
2 2 △x→0 △x △x→0 △x
a +n
下面的电路实现的上面公式的功能
f(x+△x)-f(x)=△x*(s△x+t)
设f(w)=f(x+△x)-f(x), f(w)=△x(s*△x+t),
ax
其中t=e sinnxdx,
ax
1
f(w)=△x*(s*△x+e sinnxdx)
f(x+△x)-f(x)
=s*△x
△x
1
2
3
用直流电源电压表示x,t,s的数值，用乘法器，除法器，减法器，表示上面等式，用电压表测量等式两端电压相等时，s的输出是正整数时，这时t的输出电压值就是极限值4…
f(x)计算电路
ax
f(x)=e sinnx
用直流电源电压表示e,a,x,n的数值，用乘法器，除法器，减法器，按照上面等式连接电路，最后计算出f(x),
第五部分有理函数的不定积分
如下图所示
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