文章目录
- 一、前言
- 二、01背包问题
- 2.1 认识01背包问题
- 2.2 二维数组处理01背包问题
- 2.3 一维数组处理01背包问题(滚动数组)
- 三、完全背包问题
- 3.1 认识完全背包
- 3.2 完全背包问题带来的两个问题
- 3.2.1 背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上
- 3.2.2 为什么遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环？
- 3.3 代码模板：完全背包问题
- 四、01背包问题：分割等和子集 +
- 4.1 分割等和子集
- 4.2 最后一块石头的重量 II
- 五、01背包问题：目标和
- 5.1 目标和
- 5.2 一和零
- 六、尾声
一、前言
二、01背包问题
2.1 认识01背包问题
有N件物品和一个最多能被重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
这是标准的背包问题，以至于很多同学看了这个自然就会想到背包，甚至都不知道暴力的解法应该怎么解了。
这样其实是没有从底向上去思考，而是习惯性想到了背包，那么暴力的解法应该是怎么样的呢？
每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是O(2^n)，这里的n表示物品数量。
所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化！
在下面的讲解中，我举一个例子：
背包最大重量为4。
物品为：
问背包能背的物品最大价值是多少？
以下讲解和图示中出现的数字都是以这个例子为例。
2.2 二维数组处理01背包问题
依然动规五部曲分析一波。
第一步，确定dp数组以及下标的含义
对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
只看这个二维数组的定义，大家一定会有点懵，看下面这个图：
要时刻记着这个dp数组的含义，下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的，如果哪里看懵了，就来回顾一下i代表什么，j又代表什么。
第二步，确定递推公式
再回顾一下dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
那么可以有两个方向推出来dp[i][j]，
- 由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]
- 由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
所以递归公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
第三步，dp数组如何初始化
关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。
首先从dp[i][j]的定义触发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：
再看其他情况。状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。
dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。代码如下：
// 倒叙遍历
for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0]; // 初始化i为0时候的情况
}大家应该发现，这个初始化为什么是倒叙的遍历的？正序遍历就不行么？
正序遍历还真就不行，dp[0][j]表示容量为j的背包存放物品0时候的最大价值，物品0的价值就是15，因为题目中说了**每个物品只有一个！**所以dp[0][j]如果不是初始值的话，就应该都是物品0的价值，也就是15。
但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！例如代码如下：
// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {
dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
}例如dp[0][1] 是15，到了dp[0][2] = dp[0][2 - 1] + 15; 也就是dp[0][2] = 30 了，那么就是物品0被重复放入了。
所以一定要倒叙遍历，保证物品0只被放入一次！这一点对01背包很重要，后面在讲解滚动数组的时候，还会用到倒叙遍历来保证物品使用一次！
此时dp数组初始化情况如图所示：
dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？
dp[i][j]在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，因为0就是最小的了，不会影响取最大价值的结果。
如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷了。例如：一个物品的价值是-2，但对应的位置依然初始化为0，那么取最大值的时候，就会取0而不是-2了，所以要初始化为负无穷。
这样才能让dp数组在递归公式的过程中取最大的价值，而不是被初始值覆盖了。
最后初始化代码如下：
// 初始化 dp
vector<vector<int>> dp(weight.size() + 1, vector<int>(bagWeight + 1, 0));
for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
}费了这么大的功夫，才把如何初始化讲清楚，相信不少同学平时初始化dp数组是凭感觉来的，但有时候感觉是不靠谱的。
第四步，确定遍历顺序
在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量
那么问题来了，先遍历 物品还是先遍历背包重量呢？
其实都可以！！但是先遍历物品更好理解。
那么我先给出先遍历物品，然后遍历背包重量的代码。
// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 这个是为了展现dp数组里元素的变化
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}先遍历背包，再遍历物品，也是可以的！（注意我这里使用的二维dp数组）
例如这样：
// weight数组的大小 就是物品个数
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}为什么也是可以的呢？
要理解递归的本质和递推的方向。
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]推导出来的。
dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]] 都在dp[i][j]的左上角方向（包括正左和正上两个方向），那么先遍历物品，再遍历背包的过程如图所示：
再来看看先遍历背包，再遍历物品呢，如图：
大家可以看出，虽然两个for循环遍历的次序不同，但是dp[i][j]所需要的数据就是左上角，根本不影响dp[i][j]公式的推导！
但先遍历物品再遍历背包这个顺序更好理解。
其实背包问题里，两个for循环的先后循序是非常有讲究的，理解遍历顺序其实比理解推导公式难多了。
第五步，举例推导dp数组
来看一下对应的dp数组的数值，如图：
最终结果就是dp[2][4]。
建议大家此时自己在纸上推导一遍，看看dp数组里每一个数值是不是这样的。
做动态规划的题目，最好的过程就是自己在纸上举一个例子把对应的dp数组的数值推导一下，然后在动手写代码！
很多同学做dp题目，遇到各种问题，然后凭感觉东改改西改改，怎么改都不对，或者稀里糊涂就改过了。
主要就是自己没有动手推导一下dp数组的演变过程，如果推导明白了，代码写出来就算有问题，只要把dp数组打印出来，对比一下和自己推导的有什么差异，很快就可以发现问题了。
完整测试代码
void test_2_wei_bag_problem1() {
vector<int> weight = {1, 3, 4};
vector<int> value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
// 二维数组
vector<vector<int>> dp(weight.size() + 1, vector<int>(bagWeight + 1, 0));
// 初始化
for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
}
// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[weight.size() - 1][bagWeight] << endl;
}
int main() {
test_2_wei_bag_problem1();
}以上遍历的过程也可以这么写：
// 遍历过程
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
if (j - weight[i] >= 0) {
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
}这么写打印出来的dp数据这就是这样：
空出来的0其实是用不上的，版本一 能把完整的dp数组打印出来。
2.3 一维数组处理01背包问题(滚动数组)
对于背包问题其实状态都是可以压缩的。
在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
于其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。
这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。
读到这里估计大家都忘了 dp[i][j]里的i和j表达的是什么了，i是物品，j是背包容量。
dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
一定要时刻记住这里i和j的含义，要不然很容易看懵了。
动规五部曲分析如下：
第一步，确定dp数组的定义
在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。
第二步，一维dp数组的递推公式
dp[j]为 容量为j的背包所背的最大价值，那么如何推导dp[j]呢？
dp[j]可以通过dp[j - weight[j]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。
dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）
此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j]，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，
所以递归公式为：
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);可以看出相对于二维dp数组的写法，就是把dp[i][j]中i的维度去掉了。
第三步，一维dp数组如何初始化
关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。
dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。
那么dp数组除了下标0的位置，初始为0，其他下标应该初始化多少呢？
看一下递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。
这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。
那么我假设物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了。
第四步，一维dp数组遍历顺序
代码如下：
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}这里大家发现和二维dp的写法中，遍历背包的顺序是不一样的！
二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。
为什么呢？
倒叙遍历是为了保证物品i只被放入一次！，在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！中讲解二维dp数组初始化dp[0][j]时候已经讲解到过一次。
举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15
如果正序遍历
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30
此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历。
为什么倒叙遍历，就可以保证物品只放入一次呢？
倒叙就是先算dp[2]
dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 （dp数组已经都初始化为0）
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。
那么问题又来了，为什么二维dp数组历的时候不用倒叙呢？
因为对于二维dp，dp[i][j]都是通过上一层即dp[i - 1][j]计算而来，本层的dp[i][j]并不会被覆盖！
（如何这里读不懂，大家就要动手试一试了，空想还是不靠谱的，实践出真知！）
再来看看两个嵌套for循环的顺序，代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量，那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢？
不可以！
因为一维dp的写法，背包容量一定是要倒序遍历（原因上面已经讲了），如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品。
（这里如果读不懂，就在回想一下dp[j]的定义，或者就把两个for循环顺序颠倒一下试试！）
所以一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维其实是有很大差异的！，这一点大家一定要注意。
第五步，举例推导dp数组
一维dp，费用用物品0，物品1，物品2 来遍历背包，最终得到结果如下：
一维dp01背包完整测试代码
void test_1_wei_bag_problem() {
vector<int> weight = {1, 3, 4};
vector<int> value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
// 初始化
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
test_1_wei_bag_problem();
}一维数组无需对第一行初始化
三、完全背包问题
3.1 认识完全背包
从01背包问题到完全背包问题，如下图：
完全背包是由01背包稍作变化而来，完全背包的物品数量是无限的，即 01背包问题是一个物品只能用一次，完全背包问题是一个物品可以用无数次（所以完全背包问题没有太大现实意义）。
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。
在下面的讲解中，我依然举这个例子：
背包最大重量为4。
物品为：
每件商品都有无限个！
问背包能背的物品最大价值是多少？
3.2 完全背包问题带来的两个问题
3.2.1 背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上
首先在回顾一下01背包的核心代码
// 01背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：
// 完全背包：先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = weight[i]; j < bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}3.2.2 为什么遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环？
这个问题很多题解关于这里都是轻描淡写就略过了，大家都默认 遍历物品在外层，遍历背包容量在内层，好像本应该如此一样，那么为什么呢？
难道就不能遍历背包容量在外层，遍历物品在内层？
01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了，一位dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量。
在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序同样无所谓！因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。
先遍历被背包在遍历物品，代码如下：
// 完全背包：先遍历背包，再遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
cout << endl;
}3.3 代码模板：完全背包问题
完整的C++测试代码如下：
// 先遍历物品，在遍历背包
void test_CompletePack() {
vector<int> weight = {1, 3, 4};
vector<int> value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
test_CompletePack();
}// 先遍历背包，再遍历物品
void test_CompletePack() {
vector<int> weight = {1, 3, 4};
vector<int> value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
test_CompletePack();
}四、01背包问题：分割等和子集 +
两个题目共同点：
物体有 重量 和 价值，背包有 总重量 和 总价值，这是对应的
每增加一个物体，背包总空间减少 weight[i]
每增加一个物体，背包总价值增加 value[i]
4.1 分割等和子集
题目链接：416. 分割等和子集
如何将问题转换为01背包问题？
背包问题，大家都知道，有N件物品和一个最多能被重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
背包问题有多种背包方式，常见的有：01背包、完全背包、多重背包、分组背包和混合背包等等。
要注意题目描述中商品是不是可以重复放入。
即一个商品如果可以重复多次放入是完全背包，而只能放入一次是01背包，写法还是不一样的。
要明确本题中我们要使用的是01背包，因为元素我们只能用一次。
回归主题：首先，本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。
那么来一一对应一下本题，看看背包问题如果来解决。
只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。
- 背包的体积为sum / 2
- 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
- 背包如何正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
- 背包中每一个元素是不可重复放入。
以上分析完，我们就可以套用01背包，来解决这个问题了。动态规划代码如下：
class Solution {
public boolean canPartition(int[] nums) {
// 1 <= nums.length <= 200 物体个数最多为200个
// 1 <= nums[i] <= 100
int sum=0;
int[] dp=new int[20001];// 一维dp数组
// dp[i]表示 背包总容量是i，最大可以凑成i的子集总和为dp[i]。
for (int i=0;i<nums.length;i++){
sum = sum + nums[i];
}
if (sum %2 ==1) return false;
int target = sum/2; //
for (int i=0;i<nums.length;i++){ // nums数组长度就是物品数量
for (int j=target;j>=nums[i];j--){ // 一定要大于等于nums[i] 否则减去重量，就是负数了
dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]); // 不选择，选择（减去重量，加上价值）
}
}
if (dp[target] == target) return true; // 为一半，返回true,否则返回为false
return false;
}
}可以写成二维数组，更好理解，如下：
class Solution {
public boolean canPartition(int[] nums) {
// 1 <= nums.length <= 200 物体个数最多为200个
// 1 <= nums[i] <= 100
int sum = 0;
int[][] dp = new int[nums.length + 1][20001]; // sum 最大为20000 下面就不用20000了，用 sum 和 target（sum的一半）
// 一维dp数组 改为 二维dp数组 第二维度还是背包总容量+1，只是第一个维度改为物体数量+1
// dp[i]表示 背包总容量是i，最大可以凑成i的子集总和为dp[i]。
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
sum = sum + nums[i];
}
if (sum % 2 == 1) return false;
int target = sum / 2;
// 二维数组要初始化第一行
for (int j = target; j >= nums[0]; j--) {
dp[0][j] = dp[0][j - nums[0]] + nums[0];
}
// 因为用到了 i-1 ,这里 i 从1开始，又因为这里 i 从1开始，所以要初始化第一行
for (int i = 1; i < nums.length; i++) { // 物体在数组里面，所以从0开始，[0,length-1] nums数组长度就是物品数量
for (int j = target; j >= 0; j--) { // 一定要大于等于nums[i] 否则减去重量，就是负数了
if (j>=nums[i])
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - nums[i]] + nums[i]); // 不选择，选择（减去重量，加上价值）
else
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
}
// i 范围 [0,length-1] 所以这里的第一个维度是 length-1
if (dp[nums.length - 1][target] == target) return true; // 为一半，返回true,否则返回为false
return false;
}
}二维数组不管是正序j还是倒序j，这里不能这么写 for (int j=target;j>=nums[i];j--) 理由：会无法覆盖到dp数组左下角，如
输入：[1,5,10,6]
输出：false
预期结果：true
二维数组可以正序遍历
class Solution {
public boolean canPartition(int[] nums) {
// 1 <= nums.length <= 200 物体个数最多为200个
// 1 <= nums[i] <= 100
int sum = 0;
int[][] dp = new int[nums.length + 1][20001]; // sum 最大为20000 下面就不用20000了，用 sum 和 target（sum的一半）
// 一维dp数组 改为 二维dp数组 第二维度还是背包总容量+1，只是第一个维度改为物体数量+1
// dp[i]表示 背包总容量是i，最大可以凑成i的子集总和为dp[i]。
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
sum = sum + nums[i];
}
if (sum % 2 == 1) return false;
int target = sum / 2;
// 二维数组要初始化第一行
for (int j = target; j >= nums[0]; j--) {
dp[0][j] = dp[0][j - nums[0]] + nums[0];
}
// 因为用到了 i-1 ,这里 i 从1开始，又因为这里 i 从1开始，所以要初始化第一行
for (int i = 1; i < nums.length; i++) { // 物体在数组里面，所以从0开始，[0,length-1] nums数组长度就是物品数量
for (int j = 0; j <= target; j++) { // 一定要大于等于nums[i] 否则减去重量，就是负数了
if (j>=nums[i])
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - nums[i]] + nums[i]); // 不选择，选择（减去重量，加上价值）
else
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
}
// i 范围 [0,length-1] 所以这里的第一个维度是 length-1
if (dp[nums.length - 1][target] == target) return true; // 为一半，返回true,否则返回为false
return false;
}
}4.2 最后一块石头的重量 II
题目链接：1049. 最后一块石头的重量 II
一维数组
class Solution {
public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
int[] dp=new int[15001];
int sum=0;
for (int i=0;i<stones.length;i++)
sum = sum + stones[i];
int target = sum/2;
for (int i=0;i<stones.length;i++){ // stones [0,length-1]
for (int j=target;j>=stones[i];j--)
dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-stones[i]]+stones[i]);
}
return sum-dp[target]-dp[target];
}
}可以改成二维数组
class Solution {
public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
int[][] dp = new int[stones.length + 1][15001];
int sum = 0;
for (int i = 0; i < stones.length; i++)
sum = sum + stones[i];
int target = sum / 2;
for (int j = target; j >= stones[0]; j--)
dp[0][j] = Math.max(dp[0][j], dp[0][j - stones[0]] + stones[0]);
for (int i = 1; i < stones.length; i++) { // stones [0,length-1]
for (int j = target; j >= 0; j--){
if (j >= stones[i])
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - stones[i]] + stones[i]);
else dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
}
return sum - dp[stones.length-1][target] - dp[stones.length-1][target];
}
}一维数组改成二维数组
1、新增第一个维度是 物体 数量
2、对于 i=0 初始化
3、第一个for循环 i 从1开始，第二个for循环可以反向，也可以正向
4、循环内部要if else 分别处理
5、最后返回，第一个维度为 物体数量 最后一个，第二个维度表示 容量 target
五、01背包问题：目标和
5.1 目标和
题目描述：494. 目标和
根据题目抽象成01背包问题，本题要如何使表达式结果为target，
既然为target，那么就一定有 left组合 - right组合 = target。
left + right等于sum，而sum是固定的。
公式来了， left - (sum - left) = target -> left = (target + sum)/2 。
target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来。
此时问题就是在集合nums中找出和为left的组合。
动态规划01背包问题
class Solution {
public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
int sum =0;
for (int i=0;i<nums.length;i++)
sum = sum + nums[i];
if (target > sum ) return 0;
if (( target + sum )%2==1) return 0;
int bigSize = ( target + sum )/2;
int[] dp=new int[bigSize+1]; // int数组初始化全部为0 为什么数组长度为 bigSize+1,因为内循环变量的时候 int j=bigSize;i>=0; 一共 [0,bigSize] bigSize+1 个
dp[0]=1; // 这个是迭代的基础，对于计算总数的时候
for(int i=0;i<nums.length;i++){
for (int j=bigSize;j>=nums[i];j--) { // 虽然j-- 很笨，但是只能这么用 不断减少背包容量
dp[j] = dp[j] + dp[j-nums[i]]; // j-nums[i] 不能数组越界 计算总数的都是这个dp状态方程
}
}
return dp[bigSize]; // dp长度为 bigSize+1 ,这就是最后一个元素
}
}一维数组改成二维数组
1、新增第一个维度是 物体 数量； 先dp[i][0]=1业务初始化，而后才是二维dp数组的模板初始化 i=0
2、对于 i=0 初始化 初始化要按照一维数组的条件来，是 for (int j = bigSize; j >= nums[0]; j--) ，也可以是 for (int j = bigSize; j >= 0; j--) if...else... 一个意思；
3、第一个for循环 i 从1开始，第二个for循环可以反向，也可以正向
4、循环内部要if else 分别处理 状态方程第一维，是 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j - nums[i]]; 不是 dp[i][j] = dp[i][j] + dp[i][j - nums[i]];
5、最后返回，第一个维度为 物体数量 最后一个，第二个维度表示 容量 target
class Solution {
public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
int sum = 0;
for (int i = 0; i < nums.length; i++)
sum = sum + nums[i];
if (target > sum) return 0;
if ((target + sum) % 2 == 1) return 0;
int bigSize = (target + sum) / 2; // 得到背包重量容量 背包价值就是target，不用管了，只要管好背包重量容量就好
int[][] dp = new int[nums.length][bigSize + 1]; // int数组初始化全部为0 为什么数组长度为 bigSize+1,因为内循环变量的时候 int j=bigSize;i>=0; 一共 [0,bigSize] bigSize+1 个
// 取代 dp[0]=1;
for (int i = 0; i < nums.length; i++)
dp[i][0] = 1;
// 初始化第一行不是取代 dp[0]=1; 这个是迭代的基础，对于计算总数的时候 装满容量为0的背包，有1种方法，就是装0件物品
for (int j = bigSize; j >= nums[0]; j--) {
dp[0][j] = dp[0][j] + dp[0][j - nums[0]]; // j-nums[i] 不能数组越界 计算总数的都是这个dp状态方程
}
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
for (int j = bigSize; j >= 0; j--) { // 虽然j-- 很笨，但是只能这么用 不断减少背包容量
if (j >= nums[i])
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j - nums[i]]; // j-nums[i] 不能数组越界 计算总数的都是这个dp状态方程
else
dp[i][j] = dp[i-1][j]; // 必须用上一行控制下一行
}
}
return dp[nums.length - 1][bigSize]; // dp长度为 bigSize+1 ,这就是最后一个元素
}
}class Solution {
public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
int sum = 0;
for (int i = 0; i < nums.length; i++)
sum = sum + nums[i];
if (target > sum) return 0;
if ((target + sum) % 2 == 1) return 0;
int bigSize = (target + sum) / 2; // 得到背包重量容量 背包价值就是target，不用管了，只要管好背包重量容量就好
int[][] dp = new int[nums.length][bigSize + 1]; // int数组初始化全部为0 为什么数组长度为 bigSize+1,因为内循环变量的时候 int j=bigSize;i>=0; 一共 [0,bigSize] bigSize+1 个
for (int i = 0; i < nums.length; i++)
dp[i][0] = 1;
// 初始化第一行不是取代 dp[0]=1; 这个是迭代的基础，对于计算总数的时候 装满容量为0的背包，有1种方法，就是装0件物品
for (int j = bigSize; j >= 0; j--) {
if (j >= nums[0])
dp[0][j] = dp[0][j] + dp[0][j - nums[0]]; // j-nums[i] 不能数组越界 计算总数的都是这个dp状态方程
else
dp[0][j] = dp[0][j];
}
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
for (int j = bigSize; j >= 0; j--) { // 虽然j-- 很笨，但是只能这么用 不断减少背包容量
if (j >= nums[i])
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]]; // j-nums[i] 不能数组越界 计算总数的都是这个dp状态方程
else
dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 必须用上一行控制下一行
}
}
return dp[nums.length - 1][bigSize]; // dp长度为 bigSize+1 ,这就是最后一个元素
}
}问题1：一维dp数组的含义和二维dp数组的含义？
回答1：
一维dp数组：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[i]种方法；
二维dp数组：使用 下标为[0~i]的 nums[i] 能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dp[i][j]种方法。
问题2：dp状态方程的理解？
回答2：
一维：dp[j] = dp[j] + dp[j-nums[i]]; 对于容量为j背包，之前的方法数是dp[j]，现在来了num[i]，所以容量数 是 原来的dp[j] （j 容量的背包中不放入num[i]）+ dp[j-nums[i]] （j 容量的背包中放入num[i]）。
二维：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]]; 对于容量为j背包，之前的方法数是dp[i-1][j]，现在来了num[i]，所以容量数 是 原来的dp[i-1][j] （j 容量的背包中不放入num[i]）+ dp[i-1][j-nums[i]] （j 容量的背包中放入num[i]）。
问题3：dp[0]的初始化为1 ？
回答3：从递归公式可以看出，在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递归结果将都是0。dp[0] = 1，理论上也很好解释，装满容量为0的背包，有1种方法，就是装0件物品。dp[j]其他下标对应的数值应该初始化为0，从递归公式也可以看出，dp[j]要保证是0的初始值，才能正确的由dp[j - nums[i]]推导出来。
问题4：dp数组为什么设置为 bigSize+1 ?
回答4：因为内循环变量的时候 int j=bigSize;j>=0;j--，所以， 一共 [0,bigSize] bigSize+1 个。
问题5：bigSize的意思?
回答5：bigSize的意义就是背包重要容量，就是为正数的数字的数字和。
5.2 一和零
题目描述：474.一和零
抽象成01背包问题，彻底理解这个题目，一个图就好了，如下：
问题1：二维dp数组的含义？
回答1：dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]。
问题2：dp状态方程的理解？
回答2：
二维：dp[i][j]=Math.max(dp[i][j],dp[i-zeroNum][j-oneNum]+1);
两个维度都是从一个一个字符来判断，当前的结果数存放在dp[i][j]里面，对于新来的 zeroNum oneNum，有两个状态供选择，
状态1：当结果中不选取 zeroNum oneNum， 结果就是仍然是 dp[i][j]
状态2：当结果中选取 zeroNum oneNum ，结果为 dp[i-zeroNum][j-oneNum]+1
两个状态、两种情况中选择比较大的。
对比标志的状态方程 dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); 发现，字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量（weight[i]），字符串本身的个数相当于物品的价值（value[i]）。所以，这就是一个典型的01背包！ 只不过物品的重量有了两个维度而已。
问题3：dp数组为什么设置为 m+1 n+1 ?
回答3：因为遍历的时候要用到 [m,0] [n,0]
问题4：为什么两层循环要用到 [m,0] [n,0]
回答4：因为对于新来的字符串数组的字符串，要全部更新dp数组。
动态规划01背包问题
class Solution {
public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
int[][] dp=new int[m+1][n+1]; // 全部初始化为0
for (String str:strs) {
char[] chars=str.toCharArray();
int zeroNum=0;int oneNum=0;
for (char ch:chars){
if ('0'==ch)
zeroNum++;
else
oneNum++;
}
for(int i=m;i>=zeroNum;i--){ // 遍历范围从 [m,0] 所以定义长度为m+1
for (int j=n;j>=oneNum;j--){ // 遍历范围从 [n,0] 所以定义长度为n+1
dp[i][j]=Math.max(dp[i][j],dp[i-zeroNum][j-oneNum]+1);
}
}
}
return dp[m][n];
}
}换成二维数组，现在已经是二维数组了…
换成三维数组太复杂，不涉及。
六、尾声
一文解析动态规划中的背包问题，完成了。
天天打码，天天进步！！
