文章目录
一、01背包
1.01背包引入
是背包中最简单的问题。
01背包的约束条件是给定几种物品，每种物品有且只有一个，并且有权值和体积两个属性。在01背包问题中，因为每种物品只有一个，对于每个问题只需要考虑选与不选两种情况。如果不选将其放入背包中，则不需要处理。如果选择将其放入背包中，由于不清楚之前收入的物品占据了多大的空间，需要枚举将这个物品放入背包后可能占据背包空间的所有情况。
2.01背包例题
例题1：现有四个物品，小偷背包总容量为8，怎么可以偷得价值最多的物品？如：物品编号：1 2 3 4物品重量：2 3 4 5物品价值：3 4 5 8记f(k,w）：当背包容量为w，现有k件物品可以偷，所能偷到最大价值
#include<cstdio>
#include <iostream>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
int f[5][9] = {0};
int w[5] ={0,2,3,4,5};
int v[5] ={0,3,4,5,8};
int main(){
int i,j;
memset(f,0,sizeof(f));
for(int i = 1; i < 5; i++){
for(int j = 1; j < 9; j++){
if(w[i] > j){
f[i][j] = f[i - 1][j];
}else{
f[i][j] = max(f[i - 1][j],f[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
}
}
}
for(int i = 0; i < 5; i++){
for(int j = 0; j < 9; j++){
cout <<"f["<< i << "]" <<"[" << j<<"]= " << f[i][j] << endl;
}
}
}
3.01背包空间优化
滚动数组：根据后无效性原则，下一状态只与上一个状态有关，可以压缩成一维数组。每运行一遍就让让dp数组刷新一遍；注意求新的dp数组时必须倒着，背包剩余容量要从容量最大值开始，不然物体的小容量会被这个物品的小容量值覆盖。比如dp[8] = max(dp[8],dp[4] + 6)此时这一层的dp[4]还未更新还为上一层的，直接使用即可，如果正着推，此时dp[4]已经覆盖为这一层的，无法正确求出后面的；
辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
输入格式
第一行有 22 个整数 TT（1 \le T \le 10001≤T≤1000）和 MM（1 \le M \le 1001≤M≤100），用一个空格隔开，TT 代表总共能够用来采药的时间，MM 代表山洞里的草药的数目。
接下来的 MM 行每行包括两个在 11 到 100100 之间（包括 11 和 100100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。
输出格式
输出在规定的时间内可以采到的草药的最大总价值。
如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？
1).未进行压缩的动态规划
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int n = 10001;
int dp[n][n];
int t[n];
int v[n];
int main(){
int T,m,i,j;
cin >> T >> m;
for(i = 1; i <= m; i++){
cin >> t[i] >> v[i];
}
for(i = 1; i <= m; i++){
for(j = 1; j <= T; j++){
if(t[i] > j){
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}else{
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i - 1][j - t[i]] + v[i]);
}
}
}
cout << dp[m][T];
}
2).压缩后的动态规划（利用滚动数组）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int n = 10001;
int dp[n];
int t[n];
int v[n];
int main(){
int T,m;
cin >> T >>m;
for(int i = 1; i <= m; i++){
cin >> t[i] >> v[i];
}
for(int i = 1; i <= m; i++){
for(int j = T; j >= 1; j--){ //递推j必须倒着循环，否则会被覆盖
if(j >= t[i]){
dp[j] = max(dp[j],dp[j - t[i]] + v[i]);
}
}
}
cout << dp[T];
}
输入：
开始输入一个数t,表示有t组测试数据。每个测试数据开始输入两个数n和v，表示骨头的总数和袋子的体积。接下一行输入n个数，表示n个骨头的价值。最后一行输入n个数，表示n个骨头的体积。
输出：
每个测试数据输出一个数，表示最大的价值。
样例输入：
1
5 10
1 2 3 4 5
5 4 3 2 1
样例输出：14
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
const int n = 1000;
int dp[n][n];
int val[n];
int vo[n];
int main()
{
int t;
cin >> t;
while (t--)
{
int n, v;
memset(dp, 0, sizeof(dp));
cin >> n >> v;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> val[i];
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> vo[i];
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 0; j <= v; j++)
{
if (vo[i] > j)
{
dp[i][j] = dp[i - 1][j]; //放不下
}
else
{
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - vo[i]] + val[i]); //将第i件物品放入背包之后的总价值
}
}
}
cout << dp[n][v] << endl;
}
}
二、完全背包
1.完全背包引入
完全背包的问题是：有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品有若干见可用，每件费用是c[i]，价值是w[i].求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值量最大。完全背包和01背包问题很像，不同的是完全背包中的物品每件有若干件，而01背包中只有一件。
2.完全背包使用
输入：
第一行：两个整数，M（背包容量，M<=200）和N（物品数量,N<=30);
第2,…N+1行：每行两个整数，Wi，Ci表示每个物品的数量和价值
输出：
仅一行，一个数，表示最大总价值。
样例输入：
10 4
2 1
3 3
4 5
7 9
样例输出：
max = 12
法一：（朴素方法）
每个物品可以取0，1，2....直到背包装不下（当前背包价值/w[i])
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int n = 10001;
int c[n];
int w[n];
int dp[n];
int main() {
int m,n;
cin >> m >> n;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> w[i] >> c[i];
}
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = m; j >= 1; j--){
for(int k = 0; k <= j / w[i]; k++){
dp[j] = max(dp[j],dp[j - k*w[i]] + k*c[i]);
}
}
}
cout << "max = " << dp[m];
}
法二、终极算法：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int n = 10001;
int c[n];
int w[n];
int dp[n];
int main() {
int m,n;
cin >> m >> n;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> w[i] >> c[i];
}
for(int i = 1; i <= n; i++) {
// for(int j = 0; j <= m; j++) { //正向推
// if(j >= w[i]) {
// dp[j] =max(dp[j],dp[j - w[i]] + c[i]);
// }
// }
for(int j = w[i]; j <= m; j++){
dp[j] =max(dp[j],dp[j - w[i]] + c[i]); //直接从能放的下的时候开始推
}
}
cout << "max = " << dp[m];
}
3.完全背包与01背包的区别
输入：
输入包含多组测试用例。每组数据以一个整数n开始，表示每天的食物清单有n种食物。接下来n行，每行两个整数a和b，其中a表示这种食物可以带给她的幸福值（数值越大越幸福），b表示会增加的卡路里量。最后是一个整数m，表示一天增加的卡路里不能超过m。
输出：
对每份清单，输出一个整数，即满足卡路里的同时，她可获得的最大幸福值。
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1e6 + 10;
int n;
int c[maxn];
int f[maxn];
int dp[maxn];
int main(){
while(cin >> n){
for(int i = 1; i <= n; i++){
cin >> f[i] >>c[i];
}
int m;
cin >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = c[i]; j <= m; j++){
dp[j] = max(dp[j],dp[j - c[i]] + f[i]);
}
}
cout << dp[m] << endl;
}
}
