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问题描述

　　将一个数N分为多个正整数之和，即N=a1+a2+a3+…+ak，定义M=a1*a2*a3*…*ak为N的潜能。
　　给定N，求它的潜能M。
　　由于M可能过大，只需求M对5218取模的余数。

输入格式

　　输入共一行，为一个正整数N。

输出格式

　　输出共一行，为N的潜能M对5218取模的余数。

样例输入

10

样例输出

36

数据规模和约定

　　1<=N<10^18

解题思路

一.按照题意首先我们第一步需要将整数N分为乘积和最大的k个数，经过观察得知当若ac=ax+ay,当ac>=ax*ay时ac便不用继续划分，满足此条件的只有2与3与4，即可当乘积和最大时，N必须划分成尽可能多的3且剩余的数为0或2或4.

//a 3的数量，b 2的数量
		if(n%3==1) {
			a=(n/3)-1;
			b=2;		
		}else if(n%3==2) {
			a=n/3;
			b=1;
		}else {
			a=n/3;
		}

二.接下来我们需要求a个3相乘与b个2相乘5218取模的余数。N的范围为1<=N<10^18当N很大时其潜能M与a都很大。对于取模运算，有若z=x*y,z%mod=(x%mod*y%mod)mod,由此我们可边取模边运算，对与a很大，我们可对每次取模得到的结果都进行相乘，则对于前后两半取模只需要总的计算2log2 a次。同时记录每次取模的值及相乘到的位置在后一半取模时计算。

	//c a个3相乘取模的当前位置 x[]与z[]记录相应的取模值及取模位置，d 后一半剩余相乘数量。
		long c=1;
		int yu=3%5218;
		int k=0;
		x[0]=yu;
		z[0]=c;
		while(a>=2*c) {
			yu=(yu*yu)%5218;
			x[++k]=yu;
			c*=2;
			z[k]=c;
		}
		long d=a-c;
		for(int i=k-1;i>=0;i--) {
			if(d>z[i]) {
				yu=(yu*x[i])%5218;
				d=d-z[i];
			}
		}

全部代码

import java.util.Scanner;
public class Main{
	public static void main(String args[]) {
		Scanner sc=new Scanner(System.in);
		long n=sc.nextLong();
		//a 3的数量，b 2的数量
		long a=0;
		int b=0;
		int[] x=new int[100];
		long[] z=new long[100];
		//a 3的数量，b 2的数量
		if(n%3==1) {
			a=(n/3)-1;
			b=2;		
		}else if(n%3==2) {
			a=n/3;
			b=1;
		}else {
			a=n/3;
		}
		//c a个3相乘取模的当前位置 x[]与z[]记录相应的取模值及取模位置，d 后一半剩余相乘数量。
		long c=1;
		int yu=3%5218;
		int k=0;
		x[0]=yu;
		z[0]=c;
		while(a>=2*c) {
			yu=(yu*yu)%5218;
			x[++k]=yu;
			c*=2;
			z[k]=c;
		}
		long d=a-c;
		for(int i=k-1;i>=0;i--) {
			if(d>z[i]) {
				yu=(yu*x[i])%5218;
				d=d-z[i];
			}
		}
		yu=(int) ((yu*Math.pow(3, d)*Math.pow(2, b))%5218);
		System.out.print(yu);
	}	
}