概述
李群与李代数(Lie group and Lie algebra) 代数学的重要分支学科,源于19世纪末叶,李(Lie,M.S.)在研究线性偏微分方程组解的积分曲线时,发现了无穷小变换群(这就是现代的局部李群)以及无穷小变换群的李代数,此后,他的学生恩格尔(Engel,F.)等人致力于李代数的研究,到20世纪初,嘉当(Cartan,E. (-J.))解决了复半单李代数的分类,随后,陆续解决了实半单李代数的分类,对称黎曼空间的分类,表示的分类等.同时,外尔(Weyl,(C. H. )H. )详尽地讨论了紧李群,给出了紧李群分类和紧李群的表示的分类.
严格的李群概念,在流形概念形成后,才能给出确切的定义,这已经是20世纪30年代以后的事,从,此,李群及其李代数不仅本身理论(包括结构理论和,表示理论)有着迅速的发展,而且不断地扩大应用范,围,成功地渗透到理论物理学,在爱因斯坦(Einstein, A.)的相对论中,运动群就是洛伦茨(Lorentz,G. G. )群,这是一个四维实单李群.李群理论的深人发展,派生出代数群理论,它们对数学的许多分支,都有深刻的影响,而从复及实李代数,自然地推广到一般域上的李代数理论,另一方面,无限维李代数也从20世纪60年代开始发展起来,最重,要的是作为复半单李代数的推广而出现的卡茨-穆迪李代数,以及维拉索罗代数,它们从一开始就和理论物理有着密切联系,且与组合数学、代数数论、孤立子理论有着深刻的联系.另一个重要发展,是考虑实半单李群在希尔伯特空间上的西表示,它和非交,换群上调和分析有着密切的关系,而和几何的联系,则是变换群理论和齐性空间理论,此外,李群的离散,子群的研究,又和代数数论密切相关、