第4讲 李群和李代数

第4讲 李群和李代数

4.1 李群与李代数基础

特殊正交群SO(3)

特殊欧氏群SE(3)

4.2 指数与对数映射

4.3 李代数求导与扰动模型

李代数的导数：

扰动模型：

扰动模型更为实用

4.4 实践：Sophus

eigen提供了几何模块，但是没有提供李代数的支持

1. Sophus安装

2. 代码讲解

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std; 

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

#include "sophus/so3.h"
#include "sophus/se3.h"

int main( int argc, char** argv )
{
    // 沿Z轴转90度的旋转矩阵
    Eigen::Matrix3d R = Eigen::AngleAxisd(M_PI/2, Eigen::Vector3d(0,0,1)).toRotationMatrix();
    
    Sophus::SO3 SO3_R(R);               // Sophus::SO(3)可以直接从旋转矩阵构造
    Sophus::SO3 SO3_v( 0, 0, M_PI/2 );  // 亦可从旋转向量构造
    Eigen::Quaterniond q(R);            // 或者四元数
    Sophus::SO3 SO3_q( q );
    // 上述表达方式都是等价的
    // 输出SO(3)时，以so(3)形式输出
    cout << "构造李群SO3: " << endl;
    cout << "SO(3) from matrix: " << SO3_R << endl;
    cout << "SO(3) from vector: " << SO3_v << endl;
    cout << "SO(3) from quaternion :" << SO3_q << endl;
    cout << endl;
    

    // 使用对数映射获得它的李代数
    Eigen::Vector3d so3 = SO3_R.log();
    cout << "对应的李代数so3 = \n" << so3 << endl;   //是向量
    // hat 为向量到反对称矩阵
    cout << "so3 hat= \n" << Sophus::SO3::hat(so3) << endl;  //是矩阵
    // 相对的，vee为反对称到向量
    cout << "so3 hat vee= \n" << Sophus::SO3::vee(Sophus::SO3::hat(so3)) << endl; //是向量
    

    // 增量扰动模型的更新
    Eigen::Vector3d update_so3(1e-4, 0, 0); //假设更新量为这么多
    Sophus::SO3 SO3_updated = Sophus::SO3::exp(update_so3) * SO3_R;
    cout << "增量扰动模型的更新: " << endl;
    cout << "SO3 updated = " << SO3_updated << endl;
    cout << endl;
    


    /********************萌萌的分割线*****************************/
    cout<<"************我是分割线*************"<<endl;
    // 对SE(3)操作大同小异
    Eigen::Vector3d t(1,0,0);           // 沿X轴平移1
    Sophus::SE3 SE3_Rt(R, t);           // 从R,t构造SE(3)
    Sophus::SE3 SE3_qt(q, t);           // 从q,t构造SE(3)
    cout << "SE3 from R,t= \n" << SE3_Rt << endl;
    cout << "SE3 from q,t= \n" << SE3_qt << endl;

    // 李代数se(3) 是一个六维向量，方便起见先typedef一下
    typedef Eigen::Matrix<double,6,1> Vector6d;
    Vector6d se3 = SE3_Rt.log();
    cout << "李代数 se3 = \n" << se3 << endl;  //6*1
    // 观察输出，会发现在Sophus中，se(3)的平移在前，旋转在后.
    // 同样的，有hat和vee两个算符
    cout << "se3 hat = \n" << Sophus::SE3::hat(se3) << endl;   //4*4
    cout << "se3 hat vee = \n" << Sophus::SE3::vee(Sophus::SE3::hat(se3)) << endl;  //6*1
    

    // 最后，演示一下更新
    Vector6d update_se3; //更新量
    update_se3.setZero();
    update_se3(0,0) = 1e-4d;
    Sophus::SE3 SE3_updated = Sophus::SE3::exp(update_se3) * SE3_Rt;
    cout << "SE3 updated = \n" << SE3_updated.matrix() << endl;   //4*4
    
    return 0;
}